Въпросната теорема на Тагамлицки се отнася за тъй наречени топологични изпъкнали пространства. Това са топологични пространства, в които на всеки два елемента a и b на пространството е съпоставено негово подмножество ab така, че да бъдат изпълнени определени изисквания. Във всяко топологично изпъкнало пространство се дефинират понятие изпъкнало подмножество, една релация на еквивалентност между елементи на пространството и понятие екстремен елемент на дадено подмножество. Теоремата, за която става дума, гласи, че при едно допълнително условие всяко отворено изпъкнало множество, което съдържа екстремните елементи на дадено компактно подмножество C на пространството, съдържа и цялото C.
В ръкописа на Проданов споменатото по-горе допълнително условие изискваше следното: винаги, когато два елемента a и b на пространството са такива, че a принадлежи на множеството ab, тези два елемента са еквивалентни. Преглеждайки ръкописа на статията преди предаването на книгата за печат, аз се затрудних при провеждането на една индукция в изложеното доказателство на теоремата. Нямайки на разположение формулировката и доказателството на теоремата във вида им, даден от Тагамлицки, не намерих друг изход освен да усиля допълнителното условие, формулирано в ръкописа, и да съобщя в бележка под линия за направената от мене промяна. Усилената форма на условието, която дадох, изисква винаги, когато два елемента a и b на пространството са такива, че a е еквивалентен на някой елемент на множеството ab, елементите a и b да бъдат еквивалентни. С такова изменение се появи статията на Проданов на страници 144–149 в отпечатаната книга (формулировката на теоремата е на стр. 147).
През декември 2007 г. г-н Манол Илиев забеляза една друга възможност за усилване на допълнителното условие, а именно то да се замени със следното: винаги, когато два елемента a и b на пространството са такива, че a принадлежи на множеството ab, тези два елемента са равни (т.е. в условието от ръкописа на Проданов вместо за еквивалентност да става дума за равенство). При такава версия на условието индукцията, за която стана дума, протича даже по-лесно, а ред 4 отг. на стр. 148 става излишен заедно с фигуриращото в края на предходния ред „b“. По повод на това хубаво досешане на г-н Илиев прочетох отново статията на Проданов и с голямо огорчение забелязах, че на времето съм усилил формулираното в ръкописа предположение на теоремата, без да проверя дали така усиленото предположение е изпълнено във всеки пример от вида, посочен в края на статията (страници 148–149 на книгата). При това положение първото изречение на стр. 149 (започващо с думите „Непосредствено се съобразява, че“) е станало неуместно, защото дори и да се окаже вярно това, което е след думата „че“, установяването на верността му не би било ни най-малко непосредствено.
За щастие допълнителното условие, усилено по начина, който предложи г-н Манол Илиев, е изпълнено за споменатите примери. Като работим с тази версия на условието, става излишна стъпката на стр. 149, ред 5 отг., при която от наличието на равенство се прави заключение за еквивалентност. Съжалявам, че преди предаването на книгата за печат не съм забелязал възникващия при моята версия на условието проблем и не съм се сетил за версията, предложена от г-н Илиев.
Забележка 1. Бихме могли да осигурим верността на заключението на теоремата, като запазим без изменение допълнителното условие от ръкописа, но добавим още и следното изискване: винаги, когато три елемента a, b и c на пространството са такива, че a принадлежи на множеството ac, а c принадлежи на множеството ab, елементът a също принадлежи на множеството ab. Това изискване очевидно е изпълнено в случаите, когато е налице допълнителното условие във вида, предложен от г-н Манол Илиев, и следователно е изпълнено за примерите в края на статията. Едно по-силно изискване, което (записано като включване на a2b в ab) се предполага в някои резултати на Тагамлицки, е следното: за всеки два елемента a и b на пространството и всеки елемент c на множеството ab това множество съдържа множеството ac. Добавянето му като предположение на теоремата би опростило доста нейното доказателството, тъй като тогава множеството U1, дефинирано на стр. 147, ред 9 отд., би се редуцирало до обединение на U0 и bU0.
Забележка 2. Не ми е известно дали теоремата не е вярна и точно във вида й от ръкописа на Проданов. Като имам пред вид изключителната интуиция, която притежаваха Тагамлицки и Проданов, не изключвам възможността да е било налице вярно доказателство на теоремата в нейния вид от ръкописа, но то да не е било записано добре. Заслужава си да се потърси такова доказателство или контрапример.