ИМПЛИКАЦИЯ И ЕКВИВАЛЕНЦИЯ
За всеки две формули φ и ψ ще означаваме с φ → ψ формулата ¬ φ ∨ ψ , а с φ ↔ ψ – формулата (φ → ψ) & (ψ → φ) . Първата от тези формули ще наричаме импликация от φ към ψ и ще я четем „ако φ, то ψ“, а втората ще наричаме еквиваленция
на φ и ψ и ще я четем „φ е равносилно на ψ“. Формулите φ и ψ ще наричаме съответно предпоставка и заключение на импликацията φ → ψ и лява страна и дясна страна на еквиваленцията φ ↔ ψ . От дефиницията за импликация получаваме, че формулата φ → ψ е невярна в дадена конфигурация тогава и само тогава, когато в тази конфигурация формулата φ е вярна, а формулата ψ е невярна. Като използваме това и дефиницията за еквиваленция, виждаме, че за всяка структура S и всяка оценка v в S на променливите са в сила следните твърдения:
| (φ → ψ)S,v = { |
1, ако φS,v ≤ ψS,v,
0 в противен случай, |
| (φ ↔ ψ)S,v = { |
1, ако φS,v = ψS,v,
0 в противен случай. |
Благодарение на това формулата φ → ψ е вярна в дадена конфигурация (S,v) точно тогава, когато е в сила твърдението, че ако φ е вярна в (S,v), то и ψ е вярна в (S,v), а формулата φ ↔ ψ – точно тогава, когато верността на φ в (S,v) е равносилна с верността на ψ в (S,v). Ясно е също, че формулата φ ↔ ψ е тъждествено вярна точно тогава, когато формулите φ и ψ са еквивалентни.
Забележка 1. Валидността на горните твърдения бихме могли да осигурим и чрез уславяне под φ → ψ да разбираме формулата ¬ (φ & ¬ ψ) . Тя, макар и малко по-сложна от формулата ¬ φ ∨ ψ , е еквивалентна на нея. В това можем да се убедим например с помощта на свойствата а), в), г), е) и ж) от въпроса „Еквивалентни формули“.
Забележка 2. Когато използваме означенията за импликация и за еквиваленция в сложни формули (както беше например при дефиницията за φ ↔ ψ ), обикновено ще пишем скоби, за да е ясен редът на действията, но понякога ще си спестяваме писането на част от скобите с приемане, че операциите импликация и еквиваленция имат равен приоритет, по-нисък отколкото при отрицанието, квантификацията, конюнкцията и дизюнкцията. Например ще считаме, че изразът φ & ψ → θ ∨ χ , където φ, ψ, θ и χ са формули, означава формулата (φ & ψ) → (θ ∨ χ) , т.е. формулата ¬ (φ & ψ) ∨ (θ ∨ χ) .
Последно изменение: 1.09.2008 г.