Implikatsiya i ekvivalentsiya

ИМПЛИКАЦИЯ И ЕКВИВАЛЕНЦИЯ

За всеки две формули j и y ще означаваме с j®y формулата (ШjЪy), а с j«y - формулата ((j®y)&(y®j)). Първата от тези формули ще наричаме импликация от j към y и ще я четем "ако j, то y", а втората ще наричаме еквиваленция на j и y и ще я четем "j е равносилно на y". Формулите j и y ще наричаме съответно предпоставка и заключение на импликацията j®y и лява страна и дясна страна на еквиваленцията j«y . От дефиницията за импликация получаваме, че формулата j®y е невярна в дадена структура при дадена оценка на променливите тогава и само тогава, когато в тази структура и при тази оценка формулата j е вярна, а формулата y е невярна. Като използваме това и дефиницията за еквиваленция, виждаме, че за всяка структура S и всяка оценка v в S на променливите са в сила следните твърдения:

(j®y)^S,v = {	1, ако j^S,vЈy^S,v, 0 в противен случай,
(j«y)^S,v = {	1, ако j^S,v=y^S,v, 0 в противен случай,

S,v

j®y Ы ако S,v

j, то S,v

y,¹ S,v

j«y Ы S,v

j е равносилно с S,v

y. Забележка. Валидността на тези твърдения бихме могли да осигурим и чрез уславяне под j®y да разбираме формулата Ш(j&Шy). Последната формула, макар и малко по-сложна от формулата (ШjЪy), в известен смисъл, който ще бъде уточнен по-нататък, не е съществено различна от нея.

Когато използваме означенията за импликация и за еквиваленция в сложни формули, ние ще пишем скоби, за да е ясен редът на действията, но обикновено ще си спестяваме писането на част от скобите с приемане, че операциите импликация и еквиваленция имат равен приоритет, по-нисък отколкото при отрицанието, квантификацията, конюнкцията и дизюнкцията (това би могло да се прецизира с помощта на подходящо разширение на понятията молекула и квазиформула и на отношението дадена квазиформула да е съкращение за дадена формула). Например ще считаме, че изразът a₁&a₂®a₃Ъa₄, където a₁, a₂, a₃ и a₄ са атомарни формули, означава формулата (a₁&a₂)®(a₃Ъa₄), т.е. формулата (Ш(a₁&a₂)Ъ(a₃Ъa₄)).

Бележка

¹ Придържаме се към подходящата за математиката уговорка, че "ако А, то Б" означава невъзможност да е налице А, без да е налице Б.

Последно изменение: 9.01.2001 г.

Previous Next Contents